Énoncé:
On donne trois points A,B et C, E et D étant les milieux de [AB] et [AC].
On construit un point F de telle manière que $\vec{DF}=\vec{DE}+\vec{DC}.$
Démontrer que F est le milieu de [BC]

Prérequis:

  1. Relation de Chasles: $\forall A,B,C: \vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}$
  2. Définition du milieu: M milieu de [AB ] $\iff \vec{AM}=\vec{MB}$

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$\vec{CF}=\vec{CD}+\vec{DE}+\vec{EF}$ (Chasles)
$=\vec{CD}+\vec{DE}+\vec{DC}$ (par construction: $\vec{EF}=\vec{DC}$)
$=\vec{DE}$
$\vec{FB}=\vec{FE}+\vec{EB}$ (Chasles)
$=\vec{CD}+\vec{EB}$ (par construction: $\vec{FE}=\vec{CD}$)
$=\vec{DA}+\vec{AE}$ (milieux)
$=\vec{DE}$
Ainsi $\vec{CF}=\vec{FB}$ donc F est milieu de [BC]