Énoncé:
On donne un triangle ABC, D étant le milieu de [BC].
Démontrez que $2\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{AC}.$

Prérequis:

  1. Définition du milieu : M est milieu de [XY] $\iff \vec{XM}=\vec{MY}$
  2. Relation de Chasles: $ \forall A,B,C : \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
  3. Opposé: $ \forall A,B: \vec{AB}=-\vec{BA}$

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$\vec{AD}+\vecAD}$
$=\vec{AB}+\vec{BD}+\vec{AC}+\vec{CD}$ (Chasles)
$=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BD}-\vec{DC}$ (Opposé)
$=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{BD}-\vec{BD}$ (Milieu)
$=\vec{AB}+\vec{AC}}$