Vecteurs: centre de gravité






Définition: Le centre de gravité d'un triangle A B C est un point G , tel que:
G A + G B + G C = 0
Soient les points X , Y et Z , tels que:
2 X B + X C = 0
2 Y C + Y A = 0
2 Z A + Z B = 0

Démontrer que:
2 G B + G C = 3 G X
En déduire que G est le centre de gravité du triangle X Y Z

2 G B + G C
= 2 ( G X + X B ) + G X + X C
= 3 G X + 2 X B + X C
= 3 G X
On démontre de même:
2 G C + G A = 3 G Y
2 G A + G B = 3 G Z
Puis il vient:
3 ( G X + G Y + G Z )
= 3 G X + 3 G Y + 3 G Z
= 2 G B + G C + 2 G C + G A + 2 G A + G B
= 3 ( G A + G B + G C )
= 3 0
= 0
donc:
G X + G Y + G Z = 0
et ainsi G est centre de gravité du triangle X Y Z

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Vecteurs: centre de gravit

D馩nition: Le centre de gravit頤'un triangle $ABC$ est un point $G$, tel que:@ $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$@ Soient les points $X,Y$ et $Z$, tels que: @ $2\vec{XB}+\vec{XC}=\vec{0}$@ $2\vec{YC}+\vec{YA}=\vec{0}$@ $2\vec{ZA}+\vec{ZB}=\vec{0}$@@ D魯ntrer que:@ $2\vec{GB}+\vec{GC}=3\vec{GX}$@ En d餵ire que $G$ est le centre de gravit頤u triangle $XYZ$