Vecteurs: centre de gravité et triangle formé par les segments joignant les milieux des côtés d'un triangle donné






Définition: Le centre de gravité d'un triangle A B C est un point G , tel que:
G A + G B + G C = 0
Définition et propriété du milieu M d'un segment [PQ]:
P M = M Q = 1 2 P Q

Démontrer:
Si G est centre de gravité du triangle A B C et si
X , Y et Z sont les milieux respectifs des côtés [ B C ] [ A C ] et [ A B ]
alors G est centre de gravité du triangle X Y Z .

La définition du centre de gravité du triangle X Y Z exige que nous montrions
G X + G Y + G Z = 0 :

G X + G Y + G Z
= G A + A B + B X + G B + B C + C Y + G C + C A + A Z
= G A + G B + G C + A B + B C + C D + 1 2 ( A B + B C + C D )
= 0 + 0 + 0
= 0

La définition du centre de gravité du triangle X Y Z exige que nous montrions
G X + G Y + G Z = 0 :

G X + G Y + G Z
= G A + A B + B X + G B + B C + C Y + G C + C A + A Z
= G A + G B + G C + A B + B C + C D + 1 2 ( A B + B C + C D )
= 0 + 0 + 0
= 0

r0

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La d馩nition du centre de gravit頤u triangle $XYZ$ exige que nous montrions@ $\vec{GX}+\vec{GY}+\vec{GZ}=\vec{0}:$@@ $\vec{GX}+\vec{GY}+\vec{GZ}$@ $=\vec{GA}+\vec{AB}+\vec{BX}+\vec{GB}+\vec{BC}+\vec{CY}+\vec{GC}+\vec{CA}+\vec{AZ}$@ $=\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}+\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD})$@ $=\vec{0}+\vec{0}+\vec{0}$@ $=\vec{0}$