Vecteurs: médianes et centre de gravité






Définition: Le centre de gravité d'un triangle A B C est un point G , tel que:
G A + G B + G C = 0
Nous savons en outre, que
si X , Y et Z sont les milieux respectifs des côtés [ B C ] [ A C ] et [ A B ] :
X G = 1 3 X A
Y G = 1 3 Y B
Z G = 1 3 Z C

Démontrer:
A X + B Y + C Z = 0

A X + B Y + C Z
= A G + G X + B G + G Y + C G + G Z
= - G A + 1 3 A X - G B + 1 3 B Y - G C + 1 3 C Z
= - ( G A + G B + G C ) + 1 3 A X + 1 3 B Y + 1 3 C Z
= 1 3 A X + 1 3 B Y + 1 3 C Z
donc:
2 3 A X + 2 3 B Y + 2 3 C Z = 0
2 3 ( A X + B Y + C Z ) = 0
A X + B Y + C Z = 0

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Vecteurs: m餩anes et centre de gravit

Vecteurs: m餩anes et centre de gravit
$\vec{AX}+\vec{BY}+\vec{CZ}$@ $=\vec{AG}+\vec{GX}+\vec{BG}+\vec{GY}+\vec{CG}+\vec{GZ}$@ $=-\vec{GA}+\frac{1}{3}\vec{AX}-\vec{GB}+\frac{1}{3}\vec{BY}-\vec{GC}+\frac{1}{3}\vec{CZ}$@ $=-(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})+\frac{1}{3}\vec{AX}+\frac{1}{3}\vec{BY}+\frac{1}{3}\vec{CZ}$@ $=\frac{1}{3}\vec{AX}+\frac{1}{3}\vec{BY}+\frac{1}{3}\vec{CZ}$@ donc:@ $\frac{2}{3}\vec{AX}+\frac{2}{3}\vec{BY}+\frac{2}{3}\vec{CZ}=\vec{0}$@ $\frac{2}{3}(\vec{AX}+\vec{BY}+\vec{CZ})=\vec{0}$@ $\vec{AX}+\vec{BY}+\vec{CZ}=\vec{0}$@

$\vec{AX}+\vec{BY}+\vec{CZ}$@ $=\vec{AG}+\vec{GX}+\vec{BG}+\vec{GY}+\vec{CG}+\vec{GZ}$@ $=-\vec{GA}+\frac{1}{3}\vec{AX}-\vec{GB}+\frac{1}{3}\vec{BY}-\vec{GC}+\frac{1}{3}\vec{CZ}$@ $=-(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})+\frac{1}{3}\vec{AX}+\frac{1}{3}\vec{BY}+\frac{1}{3}\vec{CZ}$@ $=\frac{1}{3}\vec{AX}+\frac{1}{3}\vec{BY}+\frac{1}{3}\vec{CZ}$@ donc:@ $\frac{2}{3}\vec{AX}+\frac{2}{3}\vec{BY}+\frac{2}{3}\vec{CZ}=\vec{0}$@ $\frac{2}{3}(\vec{AX}+\vec{BY}+\vec{CZ})=\vec{0}$@ $\vec{AX}+\vec{BY}+\vec{CZ}=\vec{0}$@