Vecteurs: centre de gravité






Définition: Le centre de gravité d'un triangle A B C est un point G , tel que:
G A + G B + G C = 0
Démontrer, si X , Y et Z sont les milieux respectifs des côtés [ B C ] [ A C ] et [ A B ] que:
X G = 1 3 X A
Y G = 1 3 Y B
Z G = 1 3 Z C

Faisons la démonstration pour
X G = 1 3 X A
Les autres démonstrations sont analogues:

3 X G
= X G + X G + X G
= X A + A G + X A + A B + B G + X A + A C + C G
= 3 X A + A B + A C
= 3 X A + A X + X B + A X + X C
= 3 X A + A X + A X
= X A
donc:
X G = 1 3 X A

Faisons la démonstration pour
X G = 1 3 X A
Les autres démonstrations sont analogues:

3 X G
= X G + X G + X G
= X A + A G + X A + A B + B G + X A + A C + C G
= 3 X A + A B + A C
= 3 X A + A X + X B + A X + X C
= 3 X A + A X + A X
= X A
donc:
X G = 1 3 X A

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Vecteurs: centre de gravit

Faisons la d魯nstration pour@ $\vec{XG}=\frac{1}{3}\vec{XA}$@ Les autres d魯nstrations sont analogues:@@ $3\vec{XG}$@ $=\vec{XG}+\vec{XG}+\vec{XG}$@ $=\vec{XA}+\vec{AG}+\vec{XA}+\vec{AB}+\vec{BG}+\vec{XA}+\vec{AC}+\vec{CG}$@ $=3\vec{XA}+\vec{AB}+\vec{AC}$@ $=3\vec{XA}+\vec{AX}+\vec{XB}+\vec{AX}+\vec{XC}$@ $=3\vec{XA}+\vec{AX}+\vec{AX}$@ $=\vec{XA}$@ donc:@ $\vec{XG}=\frac{1}{3}\vec{XA}$