Vecteurs: colinéarité et milieu






Soient 4 points A , B , C et D .
On considère les points M et N , tels que:
M A = k M B et N C = k N D .
k étant un réel donné diférent de 1 .
Démontrer que:
A C - k B D = ( 1 - k ) M N
Que devient cette égalité si M et N sont les milieux de [ A B ] et [ C D ] ?

A C - k B D
= A M + M N + N C - k ( B M + M N + N D )
= A M - k B M + N C - k N D + M N - k M N
= A M + k M B + N C - k N D + ( 1 - k ) M N
= A M + M A + N C - N C + ( 1 - k ) M N
= ( 1 - k ) M N

Si M est milieu de [AB], il faut que k=-1
Si N est milieu de [CD], il faut que k=-1
alors l'égalité s'écrit:
A B + B D = 2 M N

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Vecteurs: colin顲it頥t milieu

Soient 4 points $A,B,C$ et $D$.@ On consid貥 les points $M$ et $N$, tels que: @ $\vec{MA}=k\vec{MB}$ et $\vec{NC}=k\vec{ND}$ .@ $k$ 鴡nt un r饬 donn頤if鲥nt de $1$.@ D魯ntrer que:@ $\vec{AC}-k\vec{BD}=(1-k)\vec{MN}$@ Que devient cette 駡lit頳i $M$ et $N$ sont les milieux de $[AB]$ et $[CD]$?@
$\vec{AC}-k\vec{BD}$@ $=\vec{AM}+\vec{MN}+\vec{NC}-k(\vec{BM}+\vec{MN}+\vec{ND})$@ $=\vec{AM}-k\vec{BM}+\vec{NC}-k\vec{ND}+\vec{MN}-k\vec{MN}$@ $=\vec{AM}+k\vec{MB}+\vec{NC}-k\vec{ND}+(1-k)\vec{MN}$@ $=\vec{AM}+\vec{MA}+\vec{NC}-\vec{NC}+(1-k)\vec{MN}$@ $=(1-k)\vec{MN}$@@ Si M est milieu de [AB], il faut que k=-1@ Si N est milieu de [CD], il faut que k=-1@ alors l'駡lit頳'飲it:@ $\vec{AB}+\vec{BD}=2\vec{MN}$