Vecteurs: milieu






Soit un trapèze A B C D de bases (côtés parallèles) [ A B ] et [ C D ] .
Soient E , F , G , H les milieux respectifs de [ A D ] , [ B C ] , [ A C ] et [ B D ] .
Établir les égalités:
E F = 1 2 ( A B + D C )
G H = 1 2 ( A B - D C )

A B + D C
= A E + E F + F B + D E + E F + F C
= 2 E F + A E + D E + F B + F C
= 2 E F + A E + E A + F B + B F
= 2 E F
donc:
E F = 1 2 ( A B + D C )

A B - D C
A B + C D
= A G + G H + H B + C G + G H + H D
= 2 G H + A G + C G + H D + H B
= 2 G H + A G + G A + H D + D H
= 2 G H
donc:
G H = 1 2 ( A B - D C )

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Vecteurs: milieu

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$\vec{AB}+\vec{DC}$@ $=\vec{AE}+\vec{EF}+\vec{FB}+\vec{DE}+\vec{EF}+\vec{FC}$@ $=2\vec{EF}+\vec{AE}+\vec{DE}+\vec{FB}+\vec{FC}$@ $=2\vec{EF}+\vec{AE}+\vec{EA}+\vec{FB}+\vec{BF}$@ $=2\vec{EF}$@ donc:@ $\vec{EF}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{DC})$@@ $\vec{AB}-\vec{DC}$@ $\vec{AB}+\vec{CD}$@ $=\vec{AG}+\vec{GH}+\vec{HB}+\vec{CG}+\vec{GH}+\vec{HD}$@ $=2\vec{GH}+\vec{AG}+\vec{CG}+\vec{HD}+\vec{HB}$@ $=2\vec{GH}+\vec{AG}+\vec{GA}+\vec{HD}+\vec{DH}$@ $=2\vec{GH}$@ donc:@ $\vec{GH}=\frac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{DC})$@

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