Vecteurs: Milieu






Soient 4 points A , B , C et D . On appelle M le milieu de [ A B ] et N le milieu de [ C D ] .
Établir les égalités
M N = 1 2 ( A D + B C ) et
M N = 1 2 ( A C + B D )
On utilisera la relation de Chasles:
X Y = X Z + Z Y ainsi que la définition du milieu d'un segment:
I milieu de [ X Y ] X I = I Y

A D + B C
= A M + M N + N D + B M + M N + N C
= 2 M N + A M - M B - C N + N D
= 2 M N + A M - A M - N D + N D
= 2 M N
donc:
M N = 1 2 ( A D + B C )
La deuxième partie de la démonstration est analogue.

A D + B C
= A M + M N + N D + B M + M N + N C
= 2 M N + A M - M B - C N + N D
= 2 M N + A M - A M - N D + N D
= 2 M N
donc:
M N = 1 2 ( A D + B C )
La deuxième partie de la démonstration est analogue.

r0

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Vecteurs: Milieu

Soient 4 points $A,B,C$ et $D$. On appelle $M$ le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[CD]$. @ɴablir les 駡lit鳺@$\vec{MN}=\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BC})$ et @$\vec{MN}=\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{BD})$@On utilisera la relation de Chasles: @$\vec{XY}=\vec{XZ}+\vec{ZY}$ainsi que la d馩nition du milieu d'un segment:@$I$ milieu de $[XY]\hArr\vec{XI}=\vec{IY}$
$\vec{AD}+\vec{BC}$@ $= \vec{AM}+\vec{MN}+\vec{ND}+\vec{BM}+\vec{MN}+\vec{NC}$ @ $= 2\vec{MN}+\vec{AM}-\vec{MB}-\vec{CN}+\vec{ND}$@ $= 2\vec{MN}+\vec{AM}-\vec{AM}-\vec{ND}+\vec{ND}$@ $= 2\vec{MN}$@ donc:@ $\vec{MN}=\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BC})$@ La deuxi譥 partie de la d魯nstration est analogue.