Énoncé:
On donne un cercle de centre A et de diamètre BF = 2r. La médiatrice de [AB] passe par le milieu C de [AB] et coupe le cercle en D. Le point H se trouve à l'intersection de la droite DA et de la tangente au point F. Calculez FH en fonction de r.  

Prérequis:

  1. Le théorême de Thalès
  2. Le théorême de Pythagore

→ solution par étapes

→ aide progressive

→ solution entière

→ effacer tout

  On a : $(CD)\perp(BA)=(BF)$ (Propriété de la médiatrice)
  et: $(FH)\perp(AF)=(BE)$ (Propriété de la tangente)
  donc: $(CD)//(FH)$ (deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles)
  Montrez que DCAHFA est une figure "papillon" au sens de Thalès.
  $\frac{AH}{AD}=\frac{AF}{AC}=\frac{r}{\frac{r}{2}}= 2$ (car C est milieu de [AB] et AB=AF=r)
  donc AH = 2AD =2r (car AD =r)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Considérez la figure "papillon" DCAHFA. Utilisez le maximum de longueurs que vous connaissez.
  $FH^2=AH^2-AF^2$ (Pythagore, triangle rectangle AHF)
  donc $FH=\sqrt{AH^2-AF^2}=\sqrt{(2r)^2-r^2}=\sqrt{3r^2}=r\sqrt{3}$
  Considérez le triangle rectangle AHF.
3
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
4
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
5
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
6
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
h1
1
h1