Énoncé:
[AD] est une hauteur du triangle ABC. Soient J,I et K les centres de gravité des triangles ABD, ABC et ADC.
Démontrer que ces points sont alignés sur une droite parallèle à (BC).  

Prérequis:

  1. Propriétés du centre de gravité
  2. Réciproque du théorême de Thalès

→ démonstration par étapes

→ aide progressive

→ démonstration entière

→ effacer tout

  Les centres de gravité sont à 2/3 du sommet.
  On a donc:
  $\frac{KE}{KA}=\frac{IF}{IA}=\frac{1}{2}$ (1)
  $\frac{JG}{JA}=\frac{IF}{IA}=\frac{1}{2}$ (2)
  Utiliser une propriété des centres de gravité pour établir des rapports égaux.
  (1): $\frac{KE}{IF}=\frac{KA}{IA}$ (Échange des moyens)
  donc (IK)//(FE)=(BC) (réciproque de Thalès appliqué au triangle AFE).
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
  Considérez le triangle AFE.
  (2): $\frac{JG}{IF}=\frac{JA}{IA}$ (Échange des moyens)
  donc (IJ)//(GF)=(BC) (réciproque de Thalès appliqué au triangle AGF).
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
  Considérez le triangle AGF.
  Par un même point I, il ne passe qu'une seule parallèle à une droite (BC) donnée (axiome d'Euclide)
  donc (IJ)=(IK)//(BC)
Combien de parallèles à (BC) passent par le point I?
4
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
5
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
6
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
h1
1
h1