Énoncé:
Par un point G de la diagonale [AC] d'un parallélogramme ABCD on mène deux parallèles aux côtés qui coupent [AB],[AD],[BC] et [CD] en H, F, J et I.
Démontrer que (HF) est parallèle à (JI).  

Prérequis:

  1. Le théorême de Thalès.
  2. La réciproque du théorême de Thalès

→ démonstration par étapes

→ aide progressive

→ démonstration entière

→ effacer tout

  Tracez la diagonale [BD], puis montrer que (HF)//(BD). Pour (JI)//(BD), la démonstration est analogue.
  $\frac{AH}{AB}=\frac{AG}{AC}$ (1) (Thalès, figure triangle ABC)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Considérez le triangle ABC.
  $\frac{AF}{AD}=\frac{AG}{AC}$ (2) (Thalès, figure triangle ACD)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Considérez le triangle ACD.
  (1) et (2) : $\frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}$ (Deux nombres égaux à un même troisième sont égaux entre eux)
  Combinez (1) et (2)
  $\frac{AF}{AH}=\frac{AD}{AB}$ (Échange des moyens)
  donc (HF)//(BD) (3) (réciproque de Thalès appliquée au triangle ABD)
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
  Considérez le triangle ABD
  On démontre de même: (JI)//(BD) (4)
  Raisonnez par analogie.
  (3) et (4) : (HF)//(JI) (deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles)
  Combinez (3) et (4).
1
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
h1
1
h1