Énoncé:
H et I sont les milieux du côté [BC] d'un triangle ABC et d'un segment [EF] parallèle à ce côté avec $E \in [AB]$ et $F \in [AC]$.
Démontrez que A, I et H sont alignés.  

Prérequis:

  1. Le théorême de Thalès
  2. Milieu d'un segment

→ démonstration par étapes

→ aide progressive

→ démonstration entière

→ effacer tout

  Appelons G le point d'intersection de (AH) avec (EF).
  (G n'est pas forcément identique à I!)
  Il suffit de montrer que G est aussi le milieu de [EF]!
  Astuce: S'il n'est pas sûr que I soit aligné avec A et H, il existe un (autre?) point de [EF] qui l'est certainement! ,
  $\frac{EG}{BH}=\frac{AG}{AH}$ (1) (Thalès, figure triangle ABM)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Considérez le triangle ABM et le segment qui vous y interesse.
  $\frac{GF}{HC}=\frac{AG}{AH}$ (2) (Thalès, figure triangle AHC)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Considérez le triangle ABM et le segment qui vous y interesse.
  (1) et (2): $\frac{GF}{HC}=\frac{EG}{BH}$
  Deux nombres égaux à un même troisième sont égaux entre eux
  Comme BH = HC (H milieu de [BC])
  on a : GF = EG
  Simplifiez!
  donc G est milieu de [EF] (définition du milieu)
  donc G = I (un segment n'a qu'un seul milieu)
  donc A,I et H sont alignés (puisque A,G et H l'étaient!)
Comparez G et I
6
  Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
h1
1
h1