Énoncé:
Par le sommet E d'un trapèze ABCE on mène une droite par le milieu J de [BC] qui coupe la diagonale [AC] au point F. Par F, on mène une parallèle aux bases du trapèze qui coupe [AB],[EB] et [EC] en H, G et I.
Démontrez que HG = GF = FI  

Prérequis:

  1. Théorême de Thalès
  2. Propriétés des fractions

→ démonstration par étapes

→ aide progressive

→ démonstration entière

→ effacer tout

  $\frac{HG}{AE}=\frac{BH}{BA}$ (1) (Thalès, triangle ABE)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Appliquez au triangle ABE!
  $\frac{BH}{BA}=\frac{CI}{CD}$ (2) (Thalès: projection (AB) sur (EC))
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{projection}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Projection de (AB) sur (EC)
  $\frac{CI}{CD}=\frac{FI}{AE}$ (3) (Thalès: triangle CDA)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Appliquez au triangle CEA!
  (1), (2) et (3): $\frac{HG}{AE}=\frac{FI}{AE}$
  donc HG = FI (Deux fractions égales de même dénominateur ont leurs numérateurs égaux)
  Comparez (1), (2) et (3)
  $\frac{GF}{BJ}=\frac{EF}{EJ}$ (4) (Thalès, triangle EBJ)
  Deux des rapports

$\frac{segment}{correspondant}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
  $\frac{FI}{JC}=\frac{EF}{EJ}$ (5) (Thalès, triangle EJC)
  Deux des rapports

$\frac{segment}{corespondant}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
  (4) et (5): $\frac{GF}{BJ}=\frac{FI}{JC}$
  Comparez (4) et (5)!
  $\frac{GF}{BJ}=\frac{FI}{BJ}$ (Définition du milieu J de [BC])
  $GF = FI$ (Deux fractions égales de même dénominateur ont leurs numérateurs égaux)
  J est milieu de [BC]
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h1
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h1