Énoncé:
Dans un parallélogramme ABCD, K et L sont des points fixes sur [BC] et [AD], tels que (KL) // (AB). G est un point quelconque de [AB], M et N les points d'intersection de (GD) et (GC) avec (KL). Démontrer que [MN] a la même longeur quelle que soit la position de G sur [AB].  

Prérequis:

  1. Théorême de Thalès
  2. Calcul avec les proportions

→ démonstration par étapes

→ aide progressive

→ démonstration entière

→ effacer tout

On a:
$\frac{MN}{DC}=\frac{GN}{GD}$ (1) Thalès, figure "triangle" GCD
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
Considérez le triangle GCD, mettez en jeu MN !
$\frac{AK}{AD}=\frac{GN}{GD}$ (2) Thalès, figure "triangle" GDA
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
Considérez le triangle GDA !
(1) et (2): $\frac{AK}{AD}=\frac{MN}{DC}$
Deux nombres égaux à un même troisième sont égaux entre eux.
$MN=\frac{AK\cdotDC}{AD}$ = constante, car par construction AK,DC et AD ont une longueur constante.
Sortez MN, que pouvez-vous dire des autres longueurs figurant dans cette égalité?
4
5
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
6
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
h1
1
h1