Énoncé:
I est le milieu d'un côté [AC] d'un triangle AGC, B est un point de [AG], tel que $AB=\frac{1}{3}AG$. La droite (BI) coupe la droite (GC) en J
Démontrer que C est le milieu de [GJ].  

Prérequis:

  1. Théorême de Thalès
  2. Définition du milieu d'un segment

→ démonstration par étapes

→ aide progressive

→ démonstration entière

→ effacer tout

  Essayez de réaliser la figure "triangle" du théorême de Thalès tout en y incorporant les segments [CB] et [CJ]!
  On a:
  $\frac{AB}{BE}=\frac{IA}{IC}$ (1) (Thalès , figure "triangle" AEC)
  $IA =IC$ (2) (I milieu de [AC])
  (1) et (2): $BE = AB = \frac{1}{3}AG$
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{projection}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Considérez les segments [AB] et [BE].
  $EG =AG-AB-BE=AG-\frac{2}{3}AG=\frac{1}{3}AG=EB$
  Que vaut EG ?
  On a:
  $\frac{CG}{CJ}=\frac{EG}{EB}$ (3) (Thalès , figure "triangle" GJB)
  $EG =EB$ (4) (voir en haut)
  (3) et (4): $CG = CJ$
  C est le milieu de [GJ] (Définition du milieu)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  Il y a une autre figure Thalès "triangle" !
4
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
5
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
6
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
h1
1
h1