Énoncé:
Les segments déterminés par la bissectrice sur un côté d'un triangle sont dans le même rapport que les deux autres côtés correspondants.
Soit [AF] la bissectrice du triangle ABC.
Démontrer que $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$  

Prérequis:

  1. Théorême de Thalès
  2. Propriétés des angles déterminés par deux droites parallèles et une sécante
  3. Propriétés du triangle isocèle

démonstration par étapes

aide progressive

démonstration entière

effacer tout

  Menons une parallèle à la bissectrice par le pont C:
  Cherchez à construire une figure du genre Thalès "triangle" où le rapport $\frac{DB}{DC}$ donne un sens!
  On a:
  $\alpha=\beta$ (Définition de la bissectrice)
  $\alpha=\gamma$ (Angles alternes-internes)
  $\alpha=\delta$ (Angles correspondants)
  donc: $\gamma=\delta$
  Examinez les angles!
  Le triangle ACE est isogone ($\gamma=\delta$), donc isocèle:
  AE = AC (1)
  Examinez maintenant le triangle ACE!
  On a:
  $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AE}$ (2)(Thalès figure "triangle" ACE)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  (1) dans (2): $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$
  Concluez!
5
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
6
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
h1
1
h1