Énoncé:
On choisit un point D quelconque sur le côté [AC] d'un triangle ABC. Les parallèles par C à (AB) et par D à (BC) se coupent au point E.
Démontrer que $FC^2=FA\cdot FD$  

Prérequis:

  1. Le théorême de Thalès.
  2. Les propriétés des proportions.

→ démonstration par étapes

→ aide progressive

→ démonstration entière

→ effacer tout

  Les figures "papillon" DFBCFE et BFCEFA ont une diagonale en commun!
  L'astuce consiste à examiner les figures "papillon" DFBCFE et BFCEFA !
  $\frac{FD}{FC}=\frac{FE}{FB}$ (1) (Thalès, figure "papillon" DFBCFE)
  $\frac{FC}{FA}=\frac{FE}{FB}$ (2) (Thalès, figure "papillon" BFCEFA)
Parallélisme:
Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{projection}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  (1) et (2) :$\frac{FC}{FA}=\frac{FD}{FC}$
  Deux nombres égaux à un même troisième sont égaux entre eux.
  donc: $FC^2=FA\cdotFD$
  Propriété des fractions: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad=bc$
4
  Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
5
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
6
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
h1
1
h1