Énoncé:
Dans un trapèze, les diagonales se coupent dans le rapport des bases, c.à.d.
Soit un trapèze ABCD, E le point d'intersection des diagonales.
Démontrer: $\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{EB}$  

Prérequis:

  1. Le théorême de Thalès, figure "triangle"
  2. Les propriétés du parallélogramme

→ démonstration par étapes

→ aide progressive

→ démonstration entière

→ effacer tout

  L'exercice demande de l'astuce. Essayez de vous ramener au cas du théorême de Thalès, figure "triangle", en complétant votre figure à vous!
  Considérons le triangle ACF avec (ED)//(CF)
  On a: $\frac{AD}{DF}=\frac{AE}{EC}$ (1) (Thalès, figure "triangle")
Parallélisme:
  Le rapport des longueurs:

$\frac{segment}{correspondant}$

est toujours le même!

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}$
  De plus:
  $BC=DF$ (2)(Parallélogramme DBCF)
  Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur.
  (2) dans (1): $\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{EC}$
  Remplacer (1) dans (2)
  Puis finalement:
  $\frac{AD}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{EB}$ (Thalès, figure "papillon")
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
5
Deux des rapports

$\frac{segment}{projection}$

égaux:

$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}(=\frac{c}{c'})$

alors parallélisme!
6
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
Les rapports

$\frac{a}{a'}=\frac{c}{c'}$

égaux

alors parallélisme!
1
h1
1
h1