- Chercher la limite l de la suite $u_n=\sqrt{3n^2-n}-\sqrt{3}n+\frac{1}{2\sqrt{3} $
Chercher d'abord la limite de $\sqrt{3n^2-n}-\sqrt{3}n$
$\sqrt{3n^2-n}-\sqrt{3}n=\frac{-n}{n(\sqrt{3-\frac{1}{n}}+\sqrt{3})}\to\frac{-1}{2\sqrt{3}}$ (multiplier par conjugé, mettre n en évidence)
donc $u_n\to \frac{-1}{2\sqrt{3}}+ \frac{1}{2\sqrt{3}}~~=~~0$ - Pour $\epsilon\gt0$ donné, chercher ensuite N, tel que $|u_n-l|\lt\epsilon, \foralln\gtN $
Transformer $|u_n-l|$ en une seule fraction et essayer de minimiser le numérateur et de maximiser le dénominateur.
$|u_n-l|=|u_n|=|\frac{(\sqrt{3n^2-n})^2-(\sqrt{3}n-\frac{1}{2\sqrt{3}})^2}{\sqrt{3n^2-n}+\sqrt{3}n-\frac{1}{2\sqrt{3}}}|=|\frac{\frac{1}{12}}{\sqrt{3n^2-n}+\sqrt{3}n-\frac{1}{2\sqrt{3}}}|=\frac{\frac{1}{12}}{\sqrt{3n^2-n}+\sqrt{3}n-\frac{1}{2\sqrt{3}}}\lt \frac{1}{\sqrt{3n^2-n}}\lt\frac{1}{n}$
pour l'avant-dernière inégalité notez que $ \sqrt{3}n-\frac{1}{2\sqrt{3}}\gt0$ pour $n\geq1$ !
Donc, en prenant $n\gtN:=\frac{1}{\epsilon}$, on a $|u_n-l|\lt\epsilon$