Suites convergentes

Limites

1. Chercher la limite l de la suite $u_n=\frac{n^2+n(5n-4)}{(n+3)^2}$
   
   
   $n^2$ en évidence
   
   
   $u_n=\frac{n^2+n(5n-4)}{(n+3)^2}=\frac{n^2(6-\frac{4}{n})}{n^2(1+\frac{6}{n}-\frac{9}{n^2})}\to 6$
   
2. Pour $\epsilon\gt0$ donné, chercher ensuite N, tel que $|u_n-l|\lt\epsilon, \foralln\gtN $
   
   Essayer de minimiser le numérateur et de maximiser le dénominateur de $|u_n-l|$.
   
   $|u_n-l|=|u_n-6|=\frac{40n+54}{n^2+6n+9}\lt\frac{40n+54n}{n^2+6n+9}\lt\frac{94n}{n^2}=\frac{94}{n}$
   Donc, en prenant $n\gtN:=\frac{94}{\epsilon}$, on a $|u_n-l|\lt\epsilon$