- Démontrer que $2^n\gtn^2, \foralln\in\mathbb{N}, n\geq5$
Récurrence
Récurrence:
$n=5$:
$32=2^5>5^2=25$
$n\ton+1$:
$2^{n+1}=2\cdot2^n>2\cdotn^2\gt(n+1)^2 $
On se rendra compte que la dernière inégalité est vraie pour $n\geq5$ en résolvant l'inéquation $2n^2\gt(n+1)^2$ qui a la solution $\rbrack-\infty,1-\sqrt{2}\lbrack\cup\rbrack1+\sqrt{2},\infty\lbrack$ . - Démontrer ensuite que ${}_{n\to\infty}^{lim}\frac{n}{2^n}=0$
Utiliser la propriété précédente
Pour $n\geq5$:
$0\lt\frac{n}{2^n}\lt\frac{n}{n^2}~~\to~~0$
donc: $\frac{n}{2^n}\to~~0~~$