|
Indication: Développer l'expression et utiliser $ 2\lt n $ ,$ 3\lt n $ , laisser $1$ |
Indication: Montrer que la suite est positive et strictement décroissante |
|
$0\lt\frac{n!}{n^n}=\frac{1\cdot2\cdot3...\cdotn}{n^n}\lt\frac{1\cdotn\cdotn...\cdotn}{n^n}=\frac{1}{n}\to 0$ donc $u_n\to 0$ (théorême du gendarme) |
Montrons que la suite est positive et strictement décroissante: $0\lt\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}=\frac{(n+1)n!}{(n+1)(n+1)^n}=\frac{n!}{(n+1)^n}\lt\frac{n!}{n^n} $ Une suite minorée et décroissante converge! (nous n'avons pas montré la limite 0, mais ce n^était pas demandé!) |