Suites

Convergence

Démontrer que si $u_n$ est une suite réelle et $q\in\mathbb{R}$ avec $0\leq q< 1$ et $|u_{n+1}|\leqq|u_n|, \forall n \in\mathbb{N}$ , alors $u_n\to0$ pour $n\to\infty$



Démontrer que $|u_n|\leqq^{n-1}|u_1|,\foralln>1$

• Démontrons par induction que $|u_n|\leqq^{n-1}|u_1|,\foralln>1$:
  $n=2$
  $|u_2|\leqq^{2-1}|u_1|$ (donnée)
  $n\ton+1$ :
  $|u_{n+1}|\leqq|u_n|$ (donnée) et $|u_n|\leqq^{n-1}|u_1|$ (prémisse: valable pour n)
  $\Rightarrow ~~|u_{n+1}\leqqq^{n-1}|u_1|=q^{(n+1)-1}|u_1|$
• Comme $q^{n-1}\to0 $ pour $n\to\infty$ (suite géométrique bien connue), on a
  $0 \leq |u_n| \leq q^{n-1}|u_1| \to 0 $ pour $n\to\infty$
  d'où la conclusion (gendarme).