Montrer d'abord que $u_n = n^\frac{1}{n}\gt1$, puis écrire $u_n=1+b_n, b_n\gt0$
Ne garder que quelques termes du développement binomial!
- Si $u_n=n^\frac{1}{n}\leq1 $, on aurait $n=u_n^n=\leq1$ ce qui est absurde, donc $u_n\gt1$
-
$n=u_n^n=(1+b_n)^n = \sum_{j=0}^n \left(\begin{array}{c}
n \\ j\end{array}\right)b_n^j= 1+\left(\begin{array}{c}
n \\1\end{array}\right)b_n+\left(\begin{array}{c}
n \\2\end{array}\right)b_n^2+.....\geq 1+\left(\begin{array}{c}
n \\2\end{array}\right)b_n^2=1+\frac{n(n-1)}{2}b_n^2$
d'où $b_n^2\leq\frac{2}{n}, \forall n \gt1$
et $0\leqb_n^2\leq\frac{2}{n}$
d'où la convergence de $b_n$ vers 0 et celle de $u_n$ vers 1
Pour un $\epsilon\gt0$ donné, chercher $N \in\mathbb{N}^*$, tel que $\foralln\gtN$ on ait: $|u_n-1|\lt\epsilon$
Utiliser l'approximation précédente
$|u_n-1|=|b_n|\leq\sqrt{\frac{2}{n}}\lt \epsilon$
ce qui est le cas pour $n\gtN:=E(\frac{2}{\epsilon^2})+1$ (E = partie entière)