Suites

Convergence

Montrer que la suite $u_n=\frac{n^2+1}{7n+2}\to \infty$



Mettre n à la plus haute puissance en évidence au numérateur et au dénominateur.



$u_n=\frac{n^2+1}{7n+2}=\frac{n^2(1+\frac{1}{n^2})}{n(7+\frac{2}{n})}=\frac{n(1+\frac{1}{n^2})}{7+\frac{2}{n}}\to \infty $

Pour un $\epsilon\gt0$ donné, chercher $N \in\mathbb{N}^*$, tel que $\foralln\gtN$ on ait: $u_n\gt\frac{1}{\epsilon}$



$\frac{n^2+1}{7n+2}\gt \frac{n^2}{7n+2}\gt \frac{n^2}{7n+2n}$



$u_n=\frac{n^2+1}{7n+2}\gt \frac{n^2}{7n+2n}= \frac{n}{9}\gt \frac{1}{\epsilon}$
ce qui est le cas pour $n\gtN:=E(\frac{9}{\epsilon})+1$ (E = partie entière)