Montrer que la suite $u_n=\frac{7n^2-3n+11}{4n^3-2n^2-n+9}$ converge vers une limite $l$.
Mettre n à la plus haute puissance en évidence au numérateur et au dénominateur.
$u_n=\frac{7n^2-3n+11}{4n^3-2n^2-n+9}=\frac{n^2(7-\frac{3}{n}+\frac{11}{n^2})}{n^3(4-\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}+\frac{9}{n^3})}=\frac{7-\frac{3}{n}+\frac{11}{n^2}}{n(4-\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}+\frac{9}{n^3})}\to0 $
Pour un $\epsilon\gt0$ donné, chercher $N \in\mathbb{N}^*$, tel que $\foralln\gtN$ on ait: $|u_n-l|\lt\epsilon$
$7n^2-3n\lt7n^2 $
$7n^2+11\lt7n^2+11n^2$
On voudrait que $|u_n-l|=|u_n|=|\frac{7n^2-3n+11}{4n^3-2n^2-n+9}|\lt \epsilon$
$|\frac{7n^2-3n+11}{4n^3-2n^2-n+9}| \lt |\frac{18n^2}{4n^3-2n^3-n^3}|= |\frac{18}{n}|=\frac{18}{n}\lt \epsilon$
ce qui est le cas pour $n\gtN:=E(\frac{18}{\epsilon})+1$ (E = partie entière)