Suites

Convergence

Montrer que la suite $u_n=\frac{5n^2+3n-4}{n^2+2}$ converge vers une limite $l$.



Mettre n en évidence au numérateur et au dénominateur.



$u_n=\frac{5n^2+3n-4}{n^2+2}=\frac{n(5n+3-\frac{4}{n})}{n(n+\frac{2}{n})}=\frac{5n+3-\frac{4}{n}}{n+\frac{2}{n}}\to 5$

Pour un $\epsilon >0$ donné, chercher $N\in ℝ$, tel que $\forall n>N$ on ait: $\mid u_n-l\mid <\epsilon$



La suite est maximée par une suite de numérateur et de dénominateur plus simple.



On voudrait que $\mid u_n-l\mid =\mid u_n-l\mid =\mid \frac{3n-24}{n^2+4}\mid =\frac{3n-24}{n^2+4}$ (pour $n\ge 8$)
$<\frac{3n}{n^2+4}<\frac{3n}{n^2}=\frac{3}{n}<\epsilon$,
ce qui est le cas pour $n>N:=max(8,\frac{3}{\epsilon })$