Montrer que la suite $u_n=\frac{5n^2+3n-4}{n^2+2}$ converge vers une limite $l$.
Mettre n en évidence au numérateur et au dénominateur.
$u_n=\frac{5n^2+3n-4}{n^2+2}=\frac{n(5n+3-\frac{4}{n})}{n(n+\frac{2}{n})}=\frac{5n+3-\frac{4}{n}}{n+\frac{2}{n}}\to 5$
Pour un $\epsilon\gt0$ donné, chercher $N \in\mathbb{R}$, tel que $\foralln\gtN$ on ait: $|u_n-l|\lt\epsilon$
La suite est maximée par une suite de numérateur et de dénominateur plus simple.
On voudrait que $|u_n-l|=|u_n-l|=|\frac{3n-24}{n^2+4}|=\frac{3n-24}{n^2+4}$ (pour $n\geq8$)
$\lt\frac{3n}{n^2+4}\lt\frac{3n}{n^2}=\frac{3}{n} \lt\epsilon$,
ce qui est le cas pour $n\gtN:=max (8,\frac{3}{\epsilon})$