Suites

Convergence

Théorême:
$u_n=\frac{n^k}{b^n}$ converge vers 0 , si $b>1$ et $k\in\mathbb{N}$



$b\gt1 \Rightarrow b=1+c, c\gt0$
J'essaie de trouver une expression fonction de n et inférieure à $b^n$
$b^n=(1+c)^n= \sum_{j=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ j \end{array}\right) c^j$
Comme tous les termes de cette somme sont positifs, la somme est plus grande que l'un de ces termes:
Pour $n\geqk+1$, on a donc:
$\sum_{j=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ j \end{array}\right) c^j\geq \left(\begin{array}{c} n \\ k+1 \end{array}\right)c^{k+1}=\frac{n(n-1)....(n-k)}{(k+1)!}=n^k\frac{1(1-\frac{1}{n})....(n-k)}{(k+1)!}$
Mais alors:
$0\lt u_n=\frac{n^k}{b^n}\lt \frac{n^k}{n^k \frac{1(1-\frac{1}{n})....(n-k)}{(k+1)!}c^{k+1}}=\frac{(k+1)!}{c^{k+1}}\frac{1}{1(1-\frac{1}{n})....}\frac{1}{n-k}\to~~0~~$
et le tour est joué!