- Chercher ${}_{n\to\infty}^{lim}(\frac{3n+5}{4n+3})$
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Indication: Mettre n en évidence |
Indication: Encadrer $|\frac{3n+5}{4n+3}-\frac{3}{4}|$ par le théorême du gendarme |
Indication: Montrer que $u_n=\frac{3n+5}{4n+3}$ est équivalente à $v_n=\frac{3n}{4n}$ puis conclure à la même limite |
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${}_{n\to\infty}^{lim}(\frac{3n+5}{4n+3})=$ ${}_{n\to\infty}^{lim}(\frac{3+\frac{5}{n}}{4+\frac{3}{n}})=\frac{3}{4}$ (limite d'une somme, d'un quotient) |
$|\frac{3n+5}{4n+3}-\frac{3}{4}|$ $=|\frac{11}{4(4n+3)}|$ $=\frac{11}{4(4n+3)}$ < $ \frac{11}{16}\frac{1}{n}~~\to~~ \frac{11}{16}\cdot 0 ~= ~0$ $\Rightarrow$ $\frac{3n+5}{4n+3}-\frac{3}{4}~~\to~~ 0$ (gendarme) $\Rightarrow$ ${}_{n\to\infty}^{lim}(\frac{3n+5}{4n+3})~=~0$ |
$\frac{\frac{3n+5}{4n+3}}{\frac{3n}{4n}}$ $=\frac{1+\frac{5}{3n}}{1+\frac{3}{4n}}~~\to~~1$ (équivalence) $\Rightarrow$ ${}_{n\to\infty}^{lim}(\frac{3n+5}{4n+3})~=~{}_{n\to\infty}^{lim}(\frac{3n}{4n})~=~\frac{3}{4}$ (suite constante) |