Integrales multiples

Définition

Une suite réelle

(u_{n})_{n \in ℕ}

converge s'il existe un nombre réel l, tel que

\forall ε > 0 \exists N \in ℝ, \forall n > N : ∣ u_{n} - l ∣ < ε

Traduction

Une suite de nombres réels $(u_{n})$ indexée par un entier naturel n converge s'il existe un nombre réel l, tel que pour chaque nombre réel positif $ε$ donné à l'avance ( donc aussin petit qu'on veut), on peut trouver un nombre réel N (fonction de $ε$ seul!!), tel que pour chaque nombre entier n plus grand que ce nombre N, la distance de $u_{n}$ à l reste inférieure à $ε$ .

Exemple

Prouve que $u_{n} = \frac{1}{3 n}, n \in ℕ$ converge vers la limite 0
Commence par un cas particulier:
Trouve un nombre N, tels que tous les termes de la suite au-delà du Nième terme soient à une distance moins grande que $\frac{1}{1000000}$ de 0
On veut avoir :
$∣ \frac{1}{3 n} - 0 ∣ < \frac{1}{1000000}$ , ce qui arrive si
$\frac{1}{3 n} < \frac{1}{1000000}$ , car $\frac{1}{3 n}$ est positif, donc si
$n > \frac{1000000}{3}$
Si nous choisissons donc $N := \frac{1000000}{3}$ nous avons trouvé le nombre N cherché!
Ainsi, par exemple pour $n = 500000 > \frac{1000000}{3}$ , nous avons $u_{n} = \frac{1}{3 \cdot 500000} < \frac{1}{1000000}$
Voici donc la preuve rigoureuse:
Soit $ε > 0$
soit $N = \frac{1}{3 ε}$
alors $\forall n > N$ on a:
$∣ u_{n} - 0 ∣ = ∣ \frac{1}{3 n} - 0 ∣ = \frac{1}{3 n} < \frac{1}{3 \frac{1}{3 ε}} = ε$

Suites

Définition de la convergence

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Traduction

Exemple