Suites

Définition de la convergence

Définition

Une suite réelle $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge s'il existe un nombre réel l, tel que $\forall \epsilon > 0 ~ \exists N \in \mathbb{R}, \forall n > N: \mid u_n-l\mid < \epsilon$

Traduction

Une suite de nombres réels $(u_n)$ indexée par un entier naturel n converge s'il existe un nombre réel l, tel que pour chaque nombre réel positif $\epsilon$ donné à l'avance ( donc aussin petit qu'on veut), on peut trouver un nombre réel N (fonction de $\epsilon$ seul!!), tel que pour chaque nombre entier n plus grand que ce nombre N, la distance de $u_n$ à l reste inférieure à $\epsilon$.

Exemple

• Prouve que $u_n=\frac{1}{3n}~,~n\in\mathbb{N}$ converge vers la limite 0
• Commence par un cas particulier:
  Trouve un nombre N, tels que tous les termes de la suite au-delà du Nième terme soient à une distance moins grande que $\frac{1}{1000000}$ de 0
  On veut avoir :
  $\mid\frac{1}{3n}-0\mid<\frac{1}{1000000}$, ce qui arrive si
  $\frac{1}{3n}<\frac{1}{1000000}$ , car $\frac{1}{3n}$ est positif, donc si
  $n>\frac{1000000}{3}$
  Si nous choisissons donc $N:= \frac{1000000}{3}$ nous avons trouvé le nombre N cherché!
  Ainsi, par exemple pour $n=500000>\frac{1000000}{3}$, nous avons $u_n=\frac{1}{3\cdot500000}<\frac{1}{1000000}$
• Voici donc la preuve rigoureuse:
  Soit $\epsilon>0$
  soit $ N = \frac{1}{3\epsilon}$
  alors $ \forall n>N$ on a:
  $\mid u_n-0\mid=\mid\frac{1}{3n}-0\mid=\frac{1}{3n}< \frac{1}{3\frac{1}{3\epsilon}}=\epsilon $