Utiliser la série exponentielle:
`e^x=lim_{k\to\infty}\sum_{n=0}^ku_n` avec `u_n=\frac{x^n}{n!}` c.à.d. `e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...`
On a: `u_n=\frac{n}{e^{n^2}}=\frac{n}{1+n^2+\frac{n^4}{2}+....} ` (série exponentielle pour `e^x` )
`<\frac{n}{\frac{n^4}{2}}=\frac{2}{n^3}=v_n` (maximer la fraction en minimisant le dénominateur)
Comme la série à termes positifs `\sum_{n=0}^kv_n` converge (Riemann) , la série à termes positifs `\sum_{n=0}^ku_n` converge aussi.