Examiner la convergence de `\sum_{n=0}^ku_n,u_n=\frac{1}{1+a^n},\foralla\in\mathbb{R}, a\ne -1`
Envisager séparément les cas `|a|>1` , `|a|≤1` .
`|a|>1:`
`u_n=\frac{1}{1+a^n}<\frac{1}{a^n}<\frac{1}{|a|^n}=(\frac{1}{|a|})^n=v_n`
`\sum_{n=1}^kv_n ` converge (série géométrique)
Comme `\sum_{n=1}^kv_n` et `\sum_{n=1}^ku_n` sont des séries à termes positifs, `\sum_{n=1}^ku_n` converge
`` `|a|>1`
`|a|\leq1:`
`u_n=\frac{1}{1+a^n}≥\frac{1}{2}=v_n`
`\sum_{n=1}^kv_n ` diverge
donc `\sum_{n=1}^ku_n` diverge
``