Séries

Convergence

Examiner la convergence de ${\displaystyle \sum _{n=1}^k{u}_n,u_n=\frac{1}{n^2+a^2},\forall a\in ℝ}$



Comparer avec une série de comportement connu.



On a: ${\displaystyle u_n=\frac{1}{n^2+a^2}\le \frac{1}{n^2}=v_n}$ .
${\displaystyle \sum _{n=1}^k{u}_n}$ et ${\displaystyle }$${\displaystyle \sum _{n=1}^k{v}_n}$ sont deux séries à termes positifs.
Puisque ${\displaystyle \sum _{n=1}^k{v}_n}$ converge, ${\displaystyle \sum _{n=1}^k{u}_n}$ converge aussi