Séries

Convergence

Examiner la convergence de $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=\frac{(a-1)^n}{\sqrtn},a\in\mathbb{R} $



Prouver la convergence absolue suivant certaines valeurs de a.
Pour les autres valeurs de a, prouver que $u_n$ ne tend pas vers 0
Examiner séparément les cas limites.

• D'Alembert:
  $\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=|a-1|\sqrt{\frac{n}{n+1}}$ donc, si $0\lta\lt2$, $s_k$ converge absolument, donc converge.
• si $a\gt2$, $\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}\gt1$, à partir d'un indice $n_0$: $\foralln\gtn_0: |u_{n+1}|\gt|u_n|$ , donc il est impossible que $|u_n|\to0$, donc il est impossible que $u_n\to0$, donc $s_k$ diverge.
• si $a=2$, $u_n=\frac{1}{\sqrt{m}$ et $s_k$ diverge (Riemann).
• si $a=0$, $u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{m}$, $s_k$ converge,car $\sum_{n=1}^k(-1)^n $ bornée et $\frac{1}{\sqrt{m}}\to0$ (Abel).