Séries

Convergence

Examiner la convergence de $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=(1+\frac{1}{n})^{an}|a|^m,a\in\mathbb{R} $



Prouver la convergence absolue suivant certaines valeurs de a.
Pour les autres valeurs de a, prouver que $u_n$ ne tend pas vers 0
Examiner séparément les cas a=1 et a=-1 .

• Cauchy:
  $\rootn{u_n}=\rootn{(1+\frac{1}{n})^{an}|a|^n}=(1+\frac{1}{n})^a|a|\to|a|$ donc, si $|a|\lt1}$, $s_k$ converge.
• si $|a|\gt1$, $s_k$ diverge.
• si $a=1$, $lim_{n\to\infty}u_n=lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\neq0$ donc $s_k$ diverge.
• si $a=-1$, $u_n=(-1)^n\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}$ alors $|u_n|=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}\to\frac{1}{e}\neq0$
  comme $|u_n|$ ne tend pas vers 0, $u_n$ ne tend pas vers 0 et donc $s_k$ diverge.