Séries

Convergence

Examiner la convergence de $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=\frac{na^n}{(n+1)(n+2)},a\in\mathbb{R} $



Prouver la convergence absolue suivant certaines valeurs de a.
Pour les autres valeurs de a, prouver que $u_n$ ne tend pas vers 0
Examiner séparément les cas a=1 et a=-1 .

• D'Alembert:
  $\frac{|u_n+1|}{|u_n|}=\frac{(n+1)^2 |a|}{n(n+3)}\to|a|$ donc, si $|a|\lt1}$, $s_k$ converge absolument et converge.
• si, par contre, si $|a|\gt1$, $lim_{n\to\infty}\frac{|u_n+1|}{|u_n|}=lim_{n\to\infty}\frac{n^2(1+\frac{1}{n})^2}{n^2(1+\frac{3}{n})}|a|=lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})^2}{1+\frac{3}{n}}|a|=|a| \gt1$
  alors $\exists n_0\in\mathbb{N}^*$: $\foralln\gtn_0: |u_{n+1}|\gt|u_n|$ , donc on ne peut avoir $u_n\to0$ et ainsi $s_k$ diverge.
• si $a=1$, $u_n=\frac{n}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n^2+3n+2}\gt\frac{n}{n^2+3n^2+5n^2}$
  $=\frac{1}{9n} = v_n$
  comme $\sum_{n=1}^kv_n$ diverge, $\sum_{n=1}^ku_n$ diverge dans ce cas.
• si $a=-1$, $u_n=\frac{(-1)^nn}{(n+1)(n+2)}$
  alors, puisque $v_n=\frac{n}{(n+1)(n+2)}\to0$, $\sum_{n=1}^ku_n$ converge (série alternée, Leibniz).