Séries

Convergence

Examiner la convergence de $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=\frac{2^{2n}n!}{n^n}a^n, a\in\mathbb{R}$ , $|a|\neq\frac{e}{4}$



Prouver la convergence absolue suivant certaines valeurs de a, sachant que $v_n=(1+\frac{1}{n})^n\to e$
Pour les autres valeurs de a, prouver que $u_n$ ne tend pas vers 0

• D'Alembert:
  $\frac{|u_n+1|}{|u_n|}=\frac{4|a|}{(1+\frac{1}{n})^n}}\to\frac{4|a|}{e}$
  donc, si $\frac{4|a|}{e}\lt1$ , c.à.d. $|a|\lt\frac{e}{4}$, $s_k$ converge absolument et converge.
• si, par contre $\frac{4|a|}{e}\gt1$, c.à.d. $|a|\gt\frac{e}{4}$, on a: $\lim_{n\to\infty}\frac{|u_n+1|}{|u_n|}=\frac{4|a|}{e}\gt1$
  alors $\exists n_0\in\mathbb{N}^*$: $\foralln\gtn_0: |u_{n+1}|\gt|u_n|$ , donc on ne peut avoir $u_n\to0$ et ainsi $s_k$ diverge.