Séries

Convergence

Examiner la convergence de $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n} $



Comparer à une série de comportement connu.



$u_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{n} = \frac{2}{n(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}=\frac{2}{n^{\frac{3}{2}(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}})}}\lt2\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}=v_n $
Comme $\sum_{n=1}^kv_n$ à termes positifs converge, $\sum_{n=1}^ku_n$ à termes positifs converge aussi.