Examiner la convergence de $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=\frac{n!}{n^n}$
On sait que $v_n=(1+\frac{1}{n})^n\to e$
D'Alembert:
$\frac{u_n+1}{u_n}=\frac{(n+1)!n^n}{n!(n+1)^{n+1}}=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}\to\frac{1}{e}\lt1$
donc $\sum_{n=1}^ku_n$ converge