Examiner la convergence de $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=\frac{n}{n^2+1}$ .
Comparer à une série bien connue.
Soit $v_n=\frac{1}{n}$
Comme $\frac{u_n}{v_n}\to1$ les deux séries $\sum_{n=1}^ku_n$ et $\sum_{n=1}^kv_n$ à termes positifs divergent simultanément.