Séries

Convergence

Examiner la convergence de $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=\frac{3^n+3^{\frac{n}{2}}}{6^{n+1}}$ .



Comparer à une série bien connue. Pour deux séries à termes positifs:
Si $\foralln\gt0 $ on a $u_n\leqv_n$ alors si $\sum_{n=1}^kv_n$ converge , $\sum_{n=1}^ku_n$ converge aussi.



$u_n=\frac{3^n+3^{\frac{n}{2}}}{6^{n+1}}\lt\frac{2\cdot3^n}{6^{n+1}}=\frac{1}{3}(\frac{1}{2})^n=v_n$
Comme la série géométrique $v_n=\frac{1}{3}(\frac{1}{2})^n$ converge, $u_n$ converge aussi.