Séries

Convergence

Examiner la convergence de $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=\frac{1}{n^4}+\frac{2}{n^4}....+\frac{n}{n^4} $



Pour deux séries à termes positifs, tels que $u_n\leqv_n$: si $\sum_{n=1}^kv_n$ converge, alors $\sum_{n=1}^ku_n$ converge aussi.



$u_n=\frac{1}{n^4}+\frac{2}{n^4}....+\frac{n}{n^4}\lt\frac{n}{n^4}+\frac{n}{n^4}....+\frac{n}{n^4}= \frac{n\cdotn}{n^4}= \frac{1}{n^2}=v_n$
Comme $\sum_{n=1}^kv_n$ converge, $\sum_{n=1}^ku_n$ converge aussi.