Séries

Convergence

Démontrer que $s_k=\sum _{n=1}^k{u}_n$ avec $u_n=\frac{1}{n^2}$ converge.

• $\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
• Montrer que $s_k$ est bornée

.



$s_k=\frac{1}{1^2}+\sum _{n=2}^k\frac{1}{n^2}<1+\sum _{n=2}^k\frac{1}{n-1}-\sum _{n=2}^k\frac{1}{n}=1+\sum _{m=1}^{k-1}\frac{1}{m}-\sum _{n=2}^k\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}<2$
La suite $s_k$ est strictement monotone, croissante et bornée, donc elle converge!