Séries

Convergence

Démontrer que $s_k=\sum_{n=1}^ku_n$ avec $u_n=\frac{1}{n^2}$ converge.

• $\frac{1}{n^2}\lt\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
• Montrer que $s_k$ est bornée

.



$s_k=\frac{1}{1^2}+\sum_{n=2}^k\frac{1}{n^2}\lt1+\sum_{n=2}^k\frac{1}{n-1}-\sum_{n=2}^k\frac{1}{n}=1+\sum_{m=1}^{k-1}\frac{1}{m}-\sum_{n=2}^k\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}\lt2$
La suite $s_k$ est strictement monotone, croissante et bornée, donc elle converge!