1. Répétition: Écriture matricielle de systèmes d'équations

  2. Résolution matricielle dans des cas simples

    1. II.A. La matrice est unitaire
    2. II.B. La matrice est diagonale
    3. II.C. La matrice est triangulaire

  3. Méthode de Gauss

    1. III.A. Manipulations des systèmes d'équations
    2. III.B. Manipulation de la matrice élargie
    3. III.C. Méthode de Gauss

  4. Méthode de Gauss-Jordan

I. Répétition: Écriture matricielle de systèmes d'équations

Un système d'équations

$a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=a_{14}$

$a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=a_{24}$

$a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=a_{34}$


peut s'écrire matriciellement:

$[[a_{11},a_{12},a_{13}],[a_{21},a_{22},a_{23}],[a_{31},a_{32},a_{33}]]$$\cdot$$((x),(y),(z))$ = $((a_{14}),(a_{24}),(a_{34}))$


par exemple, le système

$x+2y+4z=5$

$2x-y+z=3$

$4x-3y-5z=7$


s'écrit matriciellement:

$[[1,2,4],[2,-1,1],[4,-3,-5]]$$\cdot$$((x),(y),(z))$ = $((5),(3),(7))$


donc sous une forme

$A vec x= vec v$

II. Résolution matricielle dans des cas simples

II.A. La matrice est unitaire

Exemple:

$[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]$$\cdot$$((x),(y),(z))$ = $((15),(2),(-8))$


donne tout de suite la solution

$x=15$, $y=2$, $z=-8$

II.B. La matrice est diagonale

Par exemple, l'équation matricielle

$[[5,0,0],[0,2,0],[0,0,4]]$$\cdot$$((x),(y),(z))$ = $((15),(2),(-8))$


se réduit au sytème

$5x=15$

$2y=2$

$4z=-8$


d'où la solution

$x=3$, $y=1$, $z=-2$



II.C. La matrice est triangulaire

Par exemple, l'équation matricielle

$[[2,-2,1],[0,1,2],[0,0,2]]$$\cdot$$((x),(y),(z))$ = $((2),(5),(-4))$


se réduit au sytème

$2x-2y+z=2$ (1)

       $y+2z=5$ (2)

          $2z=-4$ (3)


d'où successivement la solution

(3) $z=-2$, (2) $y=9$, (1) $x=11$



III. Réduction à la forme triangulaire (Gauss)

III.A. Manipulations des systèmes d'équations

Voici des opérations évidentes qu'on peut effectuer sur les équations d'un système: :

a) Échange de lignes

$x+2y+4z=5$

$2x-y+z=3$

$4x-3y-5z=7$


équivaut à
$2x-y+z=3$

$x+2y+4z=5$

$4x-3y-5z=7$

b) Multiplication d'une ligne par un nombre non nul

$x+2y+4z=5$

$2x-y+z=3$

$4x-3y-5z=7$


équivaut à
$-2x-4y-16z=-20$

$2x-y+z=3$

$4x-3y-5z=7$

c) Remplacement d'une ligne par une combinaison linéaire de cette ligne avec une autre.

Remplaçons p.ex. (2) par la somme -2(2) + (3)!

$x+2y+4z=5$

$2x-y+z=3$

$4x-3y-5z=7$


équivaut à
$x+2y+4z=5$

     $-y-7z=1$

$4x-3y-5z=7$

III.B. Manipulation de la matrice élargie

Élargissons la matrice $A$ d'un système d'équations $A vec x = vec v$ à l'aide du vecteur $vec v$:

par exemple, pour le système

$x+2y+4z=5$

$2x-y+z=3$

$4x-3y-5z=7$


la matrice élargie vaut:

$[[1,2,4,|5],[2,-1,1,|3],[4,-3,-5,|7]]$

Il est clair que la matrice élargie peut subir les opérations vues sous IIIA à savoir sans que la solution du système ne change!

III.C. Méthode de Gauss

À l'aide des manipulations de lignes permises du point IIIB, transformons, dans la matrice élargie, la matrice $A$ y contenue en matrice triangulaire. Des zéros sont produits progressivement aux endroits où il faut:

Exemple:

Matrice élargie d'un système:

$[[1,2,4,|5],[2,-1,1,|3],[4,-3,-5,|7]]$

(2) remplacée par (2)-2(1):

$[[1,2,4,|5],[0,-5,-7,|-7],[4,-3,-5,|7]]$

(3) remplacée par (3)-4(1):

$[[1,2,4,|5],[0,-5,-7,|-7],[0,-11,-21,|-13]]$

(2) remplacée par -11(2)/5:

$[[1,2,4,|5],[0,11,\frac{77}{5},|\frac{77}{5}],[0,-11,-21,|-13]]$

(3) remplacée par (3)+(2):

$[[1,2,4,|5],[0,11,\frac{77}{5},|\frac{77}{5}],[0,0,-\frac{28}{5},|\frac{12}{5}]]$

(2) remplacée par 5(2) et (3) remplacée par 5(2) pour éliminer les dénominateurs:

$[[1,2,4,|5],[0,55,77,|77],[0,0,-28,|12]]$
Résolvons suivant IIB:

(3) $z=-\frac{3}{7}$, (2) $y=2$, (3) $x=\frac{19}{7}$

Remarque: Si une ligne de la matrice $A$ s'annulle complètement, il n'y a pas de solution unique.

IV. Réduction à la forme unitaire (Gauss-Jordan)

À l'aide des manipulations de lignes permises du point IIIB, transformons, dans la matrice élargie, la matrice $A$ y contenue d'abord en en matrice triangulaire (Gauss), puis en matrice unitaire (Jordan). Des zéros sont produits progressivement aux endroits où il faut:

Exemple:

Matrice élargie d'un système:

$[[1,2,4,|5],[2,-1,1,|3],[4,-3,-5,|7]]$

La méthode de Gauss donne (voir IIIc):

$[[1,2,4,|5],[0,55,77,|77],[0,0,-28,|12]]$

(3) remplacée par 77(3)/28 :

$[[1,2,4,|5],[0,55,77,|77],[0,0,-77,|33]]$

(2) remplacée par (2)+(3)) :

$[[1,2,4,|5],[0,55,0,|110],[0,0,-77,|33]]$

(3) remplacée par 4(3)/77 :

$[[1,2,4,|5],[0,55,77,|77],[0,0,-4,|\frac{12}{7}]]$

(1) remplacée par (1)+(3)) :

$[[1,2,0,|\frac{47}{7}],[0,55,0,|110],[0,0,-4,|\frac{12}{7}]]$

(2) remplacée par -2(2)/55 :

$[[1,2,0,|\frac{47}{7}],[0,-2,0,|-4],[0,0,-4,|\frac{12}{7}]]$

(1) remplacée par (1)+(2)) :

$[[1,0,0,|\frac{19}{7}],[0,-2,0,|-4],[0,0,-4,|\frac{12}{7}]]$

(2) remplacée par -(2)/2 et (3) remplacée par -(3)/4

$[[1,0,0,|\frac{19}{7}],[0,1,0,|2],[0,0,1,|-\frac{3}{7}]]$
Suivant IIA, la 4e colonne fournit la solution:

$x=\frac{19}{7}$, $y=2$, $z=-\frac{3}{7}$