Énoncé:
Soient $A = [[k,0],[k,k]]$ avec $k $ $in$ $ bbb(R) $
Démontrer par récurrence que $A^{n}=[[k^n,0],[nk^n,k^n]]$ pour $n $ $in$ $ bbb(N)\\{0\} $ (1).

Prérequis:

  • Opérations sur les matrices

→ solution par étapes

→ solution entière

→ effacer tout

  Vérifions que (1) est vraie pour $n=1$:
  $A^{1}=[[k^1,0],[1k^1,k^1]]=[[k,0],[k,k]] stackrel"!"= A$
  Calculez $A^2-AB$
  Supposons maintenant que (1) soit vraie pour un élément $n$ quelconque de $bbb(N)\\{0\}$
$A^{n}=[[k^n,0],[nk^n,k^n]]$
  Calculez $det(A^2-AB)$
  Calculons alors sous ces prémisses $A^{n+1}$:
  $A^{n+1}=A\cdotA^{n}$
$=[[k,0],[k,k]]\cdot[[k^n,0],[nk^n,k^n]]$
$=[[k^{n+1},0],[(n+1)k^{n+1},k^{n+1}]]$
Chercher pour quelles valeurs de k, $det(A^2-AB)=0$
  La formule (1) est donc vraie pour l'élément $n+1$ de $bbb(N)\\{0\}$ et finalement pour chaque élément de $bbb(N)\\{0\}$
  Écartez ces valeurs.
  Plus petit nombre: $7$
  Plus grand nombre: $7+4=11$
  Répondez