Énoncé:
Soient les deux matrices $A = [[-1,2],[-3,k]]$ et $B = [[-3,-1],[1,4]]$ avec $k\in mathbb{R}$
Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles la matrice $A^2-AB$ est inversible.

Prérequis:

  • Opérations sur les matrices
  • M inversible ssi $det(M)\ne 0$

→ solution par étapes

→ aide progressive

→ solution entière

→ effacer tout

  $A^2=[[-1,2],[-3,k]]\cdot[[-1,2],[-3,k]]=[[-5,-2+2k],[3-3k,-6+k^2]]$
  $AB=[[-1,2],[-3,k]]\cdot[[-3,-1],[1,4]]=[[5,9],[9+k,3+4k]]$
  $A^2-AB=[[-5,-2+2k],[3-3k,-6+k^2]]-[[5,9],[9+k,3+4k]]$
$=[[-10,-11+2k],[-6-4k,k^2-4k-9]]$
  Calculez $A^2-AB$
$det(A^2-AB)= det[[-10,-11+2k],[-6-4k,k^2-4k-9]]=-2k^2+8k+24 $
  Calculez $det(A^2-AB)$
  $-2k^2+8k+24=0 hArr k=6$ ou $k=-2$$
Chercher pour quelles valeurs de k, $det(A^2-AB)=0$
  $A^2-AB$ est inversible $hArr k!=6$ et $k!=-2$
  Écartez ces valeurs.
  Plus petit nombre: $7$
  Plus grand nombre: $7+4=11$
  Répondez