1) Calculer le moment d'inertie par rapport à l'axe $z$ du solide engendré par rotation de la surface suivante autour de l'axe $z$.
Point A:
$-y^2+2=y$, donc $y=1$
Cône inférieur:
$I_{z(1)}$ =
$ \rho\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_r^1 r^3dzdrd\theta$
= $\frac{\rho\pi}{10}$
Paraboloïde renversé supérieur:
$I_{z(2)}$ =
$ \rho\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_1^{-r^2+2} r^3dzdrd\theta$
= $\frac{\rho\pi}{6}$
Moment total = $I_z = I_{z(1)}+I_{z(1)} = \frac{4\rho\pi}{15}$
1) Calculer le moment d'inertie par rapport à l'axe $z$ de l'ellipsoïde de révolution engendré par rotation de l'ellipse $\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}$ autour de l'axe $z$.
Pour $r$ en coordonnées cylindriques (ici $y$, changement de variables !!) variant de $0$ à $a$, $z$ varie de $-b\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}}$ à $b\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}}$
$I_z$ =
$ \rho\int_0^{2\pi}\int_0^a\int_{-b\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}}}^{b\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}}} r^3dzdrd\theta$
= 2b$ \rho\int_0^{2\pi}\int_0^a r^2\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}}drd\theta$
=$\frac{8a^4b\pi\rho}{15}$