1) Calculer le moments d'inertie par rapport aux l'axes $x$ et $y$ de l'ellipse $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2} = 1$.
a)
$I_x$ =
$ \int_{-5}^5(\int_{-3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}}^{3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}} y^2dy)dx$
= $\frac{2}{3}\int_{-5}^{5}(3^3(1-\frac{x^2}{5^2})^{\frac{3}{2}})dx$
=$2\pi\cdot5\cdot3^3$ = $270\pi$
b)
$I_y$ =
$ \int_{-5}^5(\int_{-3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}}^{3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}} x^2dy)dx$
= $6\int_{-5}^{5}(x^2\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}})dx$
=$\frac{\pi\cdot5^3\cdot3}{4}$ = $\frac{375\pi}{4}$
$I_x$ =
$ \int_{-5}^5(\int_{-3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}}^{3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}} y^2dy)dx$
= $\frac{2}{3}\int_{-5}^{5}(3^3(1-\frac{x^2}{5^2})^{\frac{3}{2}})dx$
=$2\pi\cdot5\cdot3^3$ = $270\pi$
b)
$I_y$ =
$ \int_{-5}^5(\int_{-3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}}^{3\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}}} x^2dy)dx$
= $6\int_{-5}^{5}(x^2\sqrt{1-\frac{x^2}{5^2}})dx$
=$\frac{\pi\cdot5^3\cdot3}{4}$ = $\frac{375\pi}{4}$
2) Calculer le moment d'inertie de la courbe $r=2cos\theta$ par rapport à l'axe $z$.
$r=2cos\theta$ est le cercle de centre (1,0) et de rayon 1:
$I_z$ =
$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\int_0^{2cos\theta} r^3dr)d\theta$
= 4$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos^4\thetad\theta$
=$\frac{3\pi}{2}$