Analogie

Partant de la définition du moment d'inertie d'un solide de la physique (voir chapitre précédent) et par analogie avec l'introduction du centre de gravité d'une surface, on définit des moments d'inertie d'une surface:

Moments d'inertie d'une surface en coordonnées cartésiennes ($dA =dxdy$)


Définition du moment d'inertie par rapport à l'axe (Oy):

$I_y = \int\int_Ax^2dA = \int\int_Ax^2dxdy$

Définition du moment d'inertie par rapport à l'axe (Ox):

$I_x = \int\int_Ay^2dA = \int\int_Ay^2dydx$

Définition du moment d'inertie par rapport à l'axe (Oz): (Pythagore!)

$I_z = \int\int_A(x^2+y^2)dA = I_x+I_y$

Moments d'inertie d'une surface en coordonnées polaires ($dA =rdrd\theta; x=rcos\theta; y=rsin\theta$)


Définition du moment d'inertie par rapport à l'axe (Oz):

$I_z = \int\int_Ar^2dA = \int\int_Ar^3drd\theta$

Définition du moment d'inertie par rapport à l'axe (Oy):

$I_y = \int\int_Ar^2cos^2\thetadA = \int\int_Ar^3cos^2\thetadrd\theta$

Définition du moment d'inertie par rapport à l'axe (Ox):

$I_x = \int\int_Ar^2sin^2\thetadA = \int\int_Ar^3sin^2\thetadrd\theta$